Профессор Университета Ямагавы визуализировал квантовые процессы с помощью современной математической теории

/ 物事の関係性を読み解く現代数学「圏論」。もともと、ある数学で扱う理論を厳密に定義するために生まれたが、近年では数学を飛び出して様々な領域での応用が進む。玉川大学の中平健治教授は圏論を使って量子力学のプロセスを可視化した。 そもそも圏論とはどのようなものだろうか。身近なスポーツを通じてその基本に触れてみよう。サッカーの各ポジションの選手と、その選手間のボールの流れは、そのまま圏論における「対象」と「射」の関係にあたる。 ボールが守備役のディフェンダー（DF）から中継役のミッドフィールダー（MF）を経て、最後は攻撃役のフォワード（FW）によってゴールに入れられる場面を考えてみる。ボールの流れは射の合成（ h◦g◦f ）で表され、DFとMFからのパスがゴールにつながった過程を記述できる。この対象と射の集まりが「圏」だ。ここではこの圏をCとする。 バスケットボールにおける選手のポジションは異なるが、ボールの流れが「守備役→中継役→攻撃役」という選手のつながりでゴールへと至る点は似ている。つまり、サッカーにおけるボールの流れ「圏C」での対象と射の関係性は、バスケにおけるボールの流れの圏Dにまるごと写し取る（写像する）ことができる。このことは、圏と圏をつなぐ矢印である「関手」で表現可能だ。 関手は「関係と関係の関係性」を表す矢印だ。サッカーとバスケで考えると「『サッカーにおけるポジション間の関係』と、『バスケにおけるポジション間の関係』が似るという関係性」を関手の形で簡単に表せる。圏論は、抽象度の高い論理構造を記述するのに向いている。 このような考え方は物理学の計算式にも適用できる。物理学では、対象に何らかの操作を加えた時、その対象がどう振る舞うかを数式によって表す。圏論を使えば数式を「ストリング図」と呼ぶ図式を使って表現することができる。数式の構造や意味合いを「より直感的に理解することができる」と中平教授は話す。 量子通信や量子計算において重要な技術である量子テレポーテーションを例に考えてみよう。量子テレポーテーションは、ここにある物体の量子状態が、遠く離れた場所にある別の物体に飛び移るかのように見える現象だ。カギを握るのは2つの物体がまるでテレパシーで通じ合っているかのように連携する「量子もつれ」だ。 東京に住むアリスが、特別なメッセージを光子の量子状態によって表して、ロンドンに住むボブへ送りたいと思ったとする。2人は量子もつれ状態になった2つの光子を一つずつ持っている状態だ。アリスは①メッセージを託した光子②量子もつれ状態になった光子――を一緒に測定する。「ベル測定」と呼ばれる測定だ。測定によって、アリスの手元の光子は2つとも消えてしまう。 次にアリスは測定の結果を電話などの通信手段でボブに伝える。ボブはその結果に応じて、自分に届いた量子もつれ光子に補正操作を加える。するとアリスがメッセージを託した量子状態が、ボブの手元の光子に再現される。これが量子テレポーテーションだ。 通常こうした過程は数式で表される。だが、状態の準備や測定、通信などが複雑に絡み合った量子テレポーテーションは、数式で表現すると「どの光子がどこへ流れ、どの操作と結びついているのか」が直感的に見えにくい。中平は「数式で考えていると具体的な操作をイメージしにくい」と指摘する。 だが圏論の図式「ストリング図」で表せば、アリスの光子と量子もつれになった2つの光子がそれぞれ1本の線で表される。アリスが準備したメッセージ用の光子と、量子もつれの一方がベル測定の箱に入って行き、その結果が電話などの古典的な通信によってボブに送られ、量子もつれのもう一方の光子の補正操作に使われるという一連のプロセスが視覚的に理解できる。 さらに図式は、一定の数学的なルールに基づいて図を変形できる。より単純な形に置き換えていくことができ、理解を助ける。例えばベル測定と補正操作は数学的にキャンセルできるので、これらの箱を図から消すことが可能だ。すると全体が非常にシンプルな形になり、アリスが準備した光子の状態がボブに移動するという結果が得られる。 対象の関係性を構造的に示すことができる圏論は、数学や物理学のみならず、哲学や認知科学など幅広い分野で使われ始めている。 （編集部　矢野摂士） 詳細は8月25日発売の日経サイエンス2026年10月号に掲載 発行 ： 日経サイエンス 価格 ： 1,650円（税込み） この書籍を購入する（ ヘルプ ）： Amazon 楽天ブックス app