Математики доказали: умножить возраст первого размножения на число «е» и получить прогноз долголетия

Rätselhafte 37 Prozent: Eine überraschend einfache Formel für die Lebenserwartung Wann beginnen Lebewesen, sich fortzupflanzen? Erstaunlicherweise hängt der Zeitpunkt mit der eulerschen Zahl zusammen. Daraus ergibt sich eine überraschend einfache Schätzung ihrer Lebenserwartung. von F. Thomas Bruss Vor dem Verfassen dieses Artikels habe ich einen Test gemacht. Ich googelte das durchschnittliche Alter einer Frau im belgischen Flandern bei der Geburt eines Kindes. Als Antwort erhielt ich 31,4 Jahre. Wenn ich dieses Alter nun mit der eulerschen Zahl e multipliziere, kommt 85,3 Jahre heraus. Erstaunlicherweise liegt das Ergebnis sehr nahe an der Lebenserwartung von Frauen in Flandern, die laut Statistik 85,1 Jahre beträgt. Als ich das Experiment für Menschen in der Wallonie, in Frankreich oder in den Niederlanden wiederholte, wich das Resultat stets weniger als ein Jahr von der dazugehörigen Lebenserwartung ab. Testen Sie es gerne selbst. Wenn man das erste Mal davon hört, glaubt man vielleicht an einen Zufall oder einen Trick. Doch wie sich zeigt, lässt sich diese beeindruckende Übereinstimmung erklären – und sie trifft nicht nur auf Menschen zu. Der Zusammenhang zwischen Reproduktionsalter, Lebenserwartung und der eulerschen Zahl fußt auf einem mathematischen Gesetz, das ich im Jahr 1984 bewiesen habe. Damals hatte ich hauptsächlich Anwendungen für Suchprobleme und Geschäftsstrategien im Sinn – und nicht in der Biologie. Nun kam es aber anders. Worauf warten sie? Der Meeresbiologe Rainer Froese vom GEOMAR Helmholtz-Zentrum für Ozeanforschung in Kiel fragte sich schon länger, warum sich viele Fischarten nicht fortpflanzen, sobald sie geschlechtsreif sind. Stattdessen scheinen die Tiere stets eine gewisse Zeit zu warten. »What are they waiting for?«, fragte er in seinen Fachvorträgen. Er fing an, Informationen dazu zu sammeln. Bald wuchs nicht nur die Anzahl, sondern auch die Vielfalt seiner Daten. Wie sich zeigte, nehmen Fische keine Sonderrolle ein. Egal ob Würmer, Fliegen, Vögel, Säugetiere – oder gar Bäume: Das Warte-Phänomen lässt sich für verschiedenste Organismen beobachten. Noch erstaunlicher ist jedoch, dass stets dieselbe Zahl auftaucht. Bei allen Lebewesen, für die Froese ausreichende Daten hatte, beträgt die Wartezeit etwa 37 Prozent der durchschnittlichen Lebenszeit. Dass dieses Ergebnis für so viele Organismen mit so unterschiedlichen Lebenserwartungen (von wenigen Tagen bis hin zu einigen Hundert Jahren) auftauchte, verwunderte ihn stark. Das konnte doch kein Zufall sein? Als er seinem Sohn, dem Kognitionswissenschaftler Tom Froese vom Okinawa Institute of Science and Technology, davon erzählte, erinnerte sich dieser an die mathematische Theorie des optimalen Stoppens. In diesen Bereich fällt auch das berühmte »Sekretärinnenproblem«: Demnach besteht bei Bewerbungsverfahren die optimale Strategie bei der Auswahl unter Interessenten darin, die ersten 37 Prozent abzulehnen – und dann der ersten Person den Job zu geben, die besser war als die bisher Abgelehnten.  Hier waren sie also, die 37 Prozent. Doch das Sekretärinnenproblem ließ sich nicht auf das beobachtete Phänomen übertragen. Während Tom und Rainer Froese weiter nachforschten, stießen sie auf meinen Namen und kontaktierten mich im September 2025. Sie wollten herausfinden, ob sich der seltsame Zusammenhang zwischen Reproduktionsalter und Lebenserwartung mit dem sogenannten Odds-Algorithmus erklären ließe, den ich in den 2000er-Jahren entwickelt hatte. Nach vielen gegenseitigen Erklärungen stellten wir fest: Der Odds-Algorithmus liefert bei spezifischen Zusatzinformationen zwar wertvolle Einsichten, kann aber die rätselhafte Verbindung nicht allgemein erklären. Dafür allerdings das von mir entwickelte »1/e-Gesetz«, das die Erkenntnisse von Rainer und Tom Froese auf eine solide theoretische Grundlage stellt. Plausibilität, Logik und ein Modell Vieles in der Biologie lässt sich mit der Evolution des »Lernens« anschaulich erklären. Zum Beispiel lernt eine Hirschkuh, dass sie am besten im Mai oder Anfang Juni gebärt, da ihr Junges dann am leichtesten frisches Gras findet. Umgekehrt begreifen männliche Hirsche, dass eine Brunftzeit von Mitte September bis Mitte Oktober am erfolgversprechendsten ist. Ebenso finden Meisen oder andere Vögel heraus, wann ihre Umgebung für die Futtersuche am günstigsten ist. Fische wissen, wann die Wassertemperatur optimal für den Nachwuchs geeignet ist, und so weiter. Außerdem können Lebewesen zwischen schlechteren und besseren Gelegenheiten unterscheiden – sie haben eine Art Ranggefühl. Da Tiere wie Menschen das Beste für ihre Nachkommen wünschen, ziehen sie die günstigsten Bedingungen vor. Basierend auf diesen Tatsachen wollten wir ein Modell finden, das die Wartezeit der Tiere erklärt. Dieses muss möglichst allgemein gehalten sein, da es völlig unterschiedliche Lebewesen beschreiben soll, mit meist verschiedenen Lebenslängen und unterschiedlich vielen Gelegenheiten zur Reproduktion. Um das Modell zu entwickeln, startet man mit einem bestimmten Lebewesen mit einer Gesamtlebenszeit von T. Der Organismus lebt also im Zeitintervall [0,  T ] und hat währenddessen N  Gelegenheiten zur Paarung. Diese N  Gelegenheiten sind auf bestimmte Art im Intervall [0,  T ] verteilt und folgen einer unbekannten Ankunfts-Verteilungsfunktion  F. Wie können die Lebewesen den Zeitpunkt zur Fortpflanzung so wählen, dass der Nachwuchs optimale Bedingungen hat? Jeder Organismus hat seine eigene Verteilung F an unterschiedlichen Gelegenheiten  N und eine individuelle Lebenserwartung T. Nun stellt sich die Frage: Wie können die Lebewesen den Zeitpunkt zur Fortpflanzung so wählen, dass der Nachwuchs optimale Bedingungen hat? Das Sekretärinnenproblem hilft hierbei nicht weiter: Man müsste die genaue Anzahl N aller Gelegenheiten vorab kennen – erst dann weiß man, wie viele man überspringen müsste, um die bestmögliche Wahl zu treffen. Stattdessen ist die zugehörige Aufgabe abgewandelt: Aus einer unbekannten Anzahl N von Gelegenheiten soll in einem Zeitintervall [0,  T ] eine ausgewählt werden. Das Ziel besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, stets den besten Moment wahrzunehmen – unter der Annahme, dass alle Ankunftsreihenfolgen der verschiedenen Gelegenheiten gleich wahrscheinlich sind. Für dieses verallgemeinerte Problem habe ich im Jahr 1984 eine Lösung gefunden, die heute als 1/e-Gesetz bekannt ist: Sei e F der kleinste Zeitpunkt t, für den die Verteilung F ( t ) = 1/e ist. Die » e F -Strategie« besteht darin, nach dem Zeitpunkt e F die erste Gelegenheit wahrzunehmen, die besser als alle vorhergehenden ist. Dann lässt sich zeigen, dass die e F -Strategie die beste Gelegenheit von allen N mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 1/e (rund 37 Prozent) auswählt. Keine andere Strategie, und das ist wichtig, kann für alle N eine höhere Erfolgswahrscheinlichkeit garantieren. Das bedeutet: Ein Lebewesen sollte die Zeit e F abwarten und erst dann die nächstbeste Gelegenheit nutzen, um sich fortzupflanzen.  Falls die beste Gelegenheit vor dem Zeitpunkt e F erscheint, wird sie verpasst. Wenn sie nach e F auftritt, könnte ihr eine zweitbeste oder drittbeste Wahl oder ein höherer Rang zuvorkommen – und dann statt der besten gewählt werden. Jedoch lässt sich mit relativ einfacher Kombinatorik zeigen, dass größere Ränge r mit wachsendem r sehr schnell unwahrscheinlich werden. Wenn man also unter einer größeren Anzahl N wählen muss, dann macht mit großer Wahrscheinlichkeit nur eine sehr gute Auswahl das Rennen – und das ist das Wesentliche. So könnten verschiedene Organismen gelernt haben, ihre Reproduktion zu optimieren. Das 1/e-Gesetz setzt nichts über N voraus. Außerdem ist das Ergebnis unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsdichte f, weil die Wartezeit e F  nur vom Integral der Dichtefunktion abhängt:. Damit ist das 1/e-Gesetz so allgemein, dass es sehr aussagekräftig ist. Zudem wurde 1985 gezeigt, dass die Schätzungen sehr robust sind. Damit können wir nun annehmen, dass nach einer vom Organismus erlernten Wartezeit e F die Reproduktionsaktivität beginnt – eine Periode, die leichter beobachtet werden kann als viele andere (etwa die gesamte Lebensdauer). Lebensdauer abschätzen Mit dem 1/e-Gesetz lässt sich die Lebenserwartung T eines Organismus überraschend einfach abschätzen.  Um das zu sehen, muss man zunächst annehmen, dass der Mittelwert M der Verteilung f der Gelegenheiten links und rechts von e F etwa gleich ist. Es gilt: (da f eine Dichte ist); zudem ergibt der Mittelwert M der Verteilungsdichte mit der Intervalllänge multipliziert, also M⋅T, ebenfalls eins. Dies kann man umformen zu: M⋅( e F + T  – e F ) = 1. Aus der Definition von e F  folgt zudem, dass  M⋅e F  = 1/e gilt – und man erhält damit die Gleichung (1/e) + M⋅ ( T - e F ) = 1. Das kann man nach T auflösen und erhält: T = e ⋅e F. Wieso unterscheidet man im Fall von Paarung nicht zwischen männlichen und weiblichen Lebewesen? Tatsächlich könnte man sich für weibliche Akteure auf Dichten f beschränken, die ab Beginn der Menopause (wenn bekannt) null werden. Aber ähnlich wie an der Börse darf man auch hier Einpreisung akzeptieren. Die weiblichen Lebewesen sind sich der Menopause evolutionsbedingt bewusst und haben sich darauf eingestellt (so auch die männlichen). Deshalb ist es einfacher, für die Schätzung nur die obige Links-rechts-Mittelwertannahme zu nutzen. Dadurch ist es egal, wie die Wahrscheinlichkeitsdichte nach der Periode hoher Reproduktion im Detail aussieht. Die Lebenserwartung entspricht folglich dem Zeitpunkt  e F, mit dem die Fortpflanzung optimalerweise beginnt, multipliziert mit der eulerschen Zahl e. Und da dieser Zusammenhang für jede Lebenserwartung T gilt, welche die Links-rechts-Mittelwertbedingung erfüllt, lässt er sich auch auf den Erwartungswert von T übertragen. Demnach entspricht die erwartete Lebensdauer eines Lebewesens: Natürlich gibt es auch Ausnahmen. Zum Beispiel laichen Pazifische Lachse nur einmal in ihrem Leben und sterben gleich danach. Für diese wird also die Mittelwertannahme nicht zutreffen – und damit die e⋅ e F ‑Schätzung ihrer Lebenserwartung wenig relevant sein. Man versteht aber sofort, warum. Somit hat die Ungültigkeit einer Schätzung ganz allgemein auch ihren informativen Wert. Denn so kann man Sonderfälle erkennen und eventuell neue Erkenntnisse daraus ziehen. Tatsächlich zeichnen die Daten von Rainer Froese kaum wahre Ausnahmen aus. Motivation und alternative Schätzmethoden Wie wichtig eine gute Schätzung der Lebenserwartung von Organismen sein kann, sieht man etwa im Fischereirecht – insbesondere für Fangregulierungen in internationalen Gewässern. Dabei gilt oft der Leitsatz: Je geringer die Lebenserwartung, desto größer die zum Fischen freigegebene Menge. Daher haben manche Nationen ein Interesse daran, die Lebenserwartung der Tiere zu unterschätzen. Die meistgenutzte Schätzung der Lebenserwartung geht auf den ungarisch-österreichischen Biologen Ludwig von Bertalanffy zurück. Über seine Systemtheorie verknüpfte er die Wachstumsrate mit der natürlichen Mortalitätsrate. Seine Methode ist zwar hilfreich und oft verlässlich, unterliegt aber an mehreren Stellen zusätzlichen Hypothesen. Hinzu kommen häufig schwer zu schätzende Parameter, deren Genauigkeit das Endergebnis stark beeinflussen kann. Unsere Methode ist hingegen leicht auszuführen, da sie lediglich vom durchschnittlichen Fortpflanzungsalter der Lebewesen abhängt. Zudem beruht sie über das 1/e-Gesetz der besten Wahl, das ein mathematisch bewiesenes Resultat ist, nur auf der bescheidenen Hypothese, dass Organismen das Bestmögliche für ihre Nachkommen anvisieren – und hierfür zwischen guten und besseren Gelegenheiten unterscheiden können. Damit könnte unsere neue Schätzmethode eine interessante Alternative sein.